Racionales:

(4/3)^4 = 3'16049...
22/7 = 3'14(285...)
311/99 = 3'141(414...)
(296/167)^2 = 3'14159(704...)   (Castellanos)
355/113 = 3'141592(9203...)
512/163 = 3'141(104...)   (Stoschek)
103283/32876 = 3'14159265(1174...)

104348/33215 = 3'141592653(92142...)  (jgomez53)
833719/265381 = 3'14159265358(10777712...)   (jgomez53)

22/17 + 37/47 + 88/83 = 3'141592653(4674367055...) (E. Pegg, 9 dígitos correctos)

 

 

Irracionales:

r(10) = 3'162277...

r(2) + r(3) = 3'146264... (utilizada para hacer una cuadratura del círculo aproximada en dibujo técnico)

20*r(2)/9 = 3'142696...

3 + r(2)/10 = 3'1414213562...

r(51) - 4 = 3,1414284285428499979993998...

r(40/3-2*r(3)) = 3'141533... (viene del método de Kochanski para cuadrar el círculo)

r(227/23) = 3,141586417304...

13*r(146)/50 = 3'14159195...  (Speeht, 1836)
5/4 + r(229)/8 = 3'1415932438...
167/80 + r(10)/3 = 3'141592553389...

19*r(7)/16 = 3'14182968... 
7*(1 + r(3)/5)/3
9/5 + r(9/5) = 3'14164078...
(9^2 + 19^2/22)^1/4 = 3'141592652582... (Las cuatro últimas, de Ramanujan)

(77729/254)^1/5   (Castellanos)

ln(10691/462)   (Jerphanion)

 

Con la razón aúrea:

6*f²/5 = 3'14164078...
4/r(f) = 3'144605... (Mircea-Mugurel) 

Con el número e:

r(4e - 1) = 3,14(215329254258...)

(2*e³ + e⁸)^1/7 (Castellanos)

 

Con e y f:

5*f*e/7

Algebraicas

x² + x - 13................................................................................. 3,140054944640259...

x² + 8x - 35............................................................................... 3,14142842854284999...

3x² + 31x - 127......................................................................... 3,1416290537430114...

15x² + 35x - 258....................................................................... 3.141594132206947...

x³ - 7x - 9 ................................................................................. 3,1409233426082332...

x³ + 35x² - 215x + 299............................................................. 3,1415923582091896...

x^3 - 63x^2 - 164x + 1106........................................................ 3,141592661554027...

x^4 - x^3 - 17x^2 + 264x - 728................................................. 3,141592653260348765...

x^4 + 18x^3 - 49x^2 - 183x + 403............................................ 3,1415926534748770152...

x^4 + 36x^3 - 131x^2 + 228x - 637.......................................... 3,141592653588848...

x^5 + 7x^4 + x^3 + 145x^2 - 240x - 1696................................ 3,141592653591403978...

x^5+9x^4-11x^3+2x^2-45x-720............................................... 3,141592653590882763...

x^5+19x^4-218x^3+283x^2+74x+1577................................... 3,1415926535897364758...

6x^6−4x^5+5x^4+2x^3−2x^2+3x−5083.................................. 3,14159265358980316851...

Método de Kochanski

Se dibuja una circunferencia de radio R. Dentro de ella se inscribe un hexágono y se toma el triángulo OEG. Se traza una paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que se corte con el segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.

 

Utilizando el teorema de Pitágoras y semejanza de triángulos es fácil demostrar que se obtiene una aproximación de pi con cuatro cifras decimales exactas.

La distancia BC es una de las raíces del polinomio 9x⁴ - 240x² + 1492