Grupos finitos

        Lo primero que conviene observar que el número de grupos finitos posibles es demasiado grande. Para simplificar su estudio nos basamos en las series de composición que son únicas (salvo equivalencias, según el teorema de Jordan-Holder) para un grupo concreto. Cada cociente de dos términos consecutivos de la serie de composición da lugar a un grupo finito simple. Estos cocientes serían como los bloques de los que está compuesto el grupo. La conclusión es que para conocer los grupos finitos nos basta con estudiar los grupos finitos simples que son muchos menos y más asequibles.

        En 1983 se consiguió terminar una clasificación de los grupos finitos simples estableciéndose que existen cinco grandes familias y que cualquier grupo finito simple pertenece a una de esas cinco familias, con la excepción de 26 grupos que reciben el nombre de grupos esporádicos. El mayor de ellos es conocido como grupo monstruo. Así, todo grupo finito simple puede ser:

1. Un grupo cíclico de orden primo. Se tratan de los únicos grupos finitos simples abelianos. El famoso teorema de Walter Feit y John G. Thompson establece que todo grupo finito de orden impar es resoluble. Por tanto, todo grupo finito simple tiene, o bien orden impar y se trata de un grupo cíclico de orden primo, o bien orden par.
   
2. Un grupo no abeliano de orden par que puede ser:
1. Un grupo alternado de grado al menos 5.
2. Un grupo de Lie simple incluyendo los grupos clásicos: Los grupos de las transformaciones proyectivo especial, unitarias, simplécticas u ortogonales sobre un cuerpo finito.
3. Un grupo de Lie excepcional o twisted incluyendo al grupo de Tits ²F₄(2)′.
4. Uno de los 26 grupos esporádicos incluyendo al grupo monstruo.

Hay quienes como John Conway consideran al grupo de Tits como un grupo esporádico (porque no es estrictamente un Grupo de Lie), en cuyo caso hay 27 grupos esporádicos.

Orden y nombres

Los grupos esporádicos suelen ser de orden grande. El más pequeño es de orden 7.920.
Los más grandes son el "baby monster group" de orden superior a 4×10³³ y el "monstruo" de orden superior a 8×10⁵³.

Veinte de los 26 grupos esporádicos están incluidos en dicho grupo monstruo. A los seis restantes, J1, J3, J4, O'N, Ru y Ly se les llama "grupos parias".

Cinco de los más pequeños fueron descubiertos por Mathieu en 1860 y el resto entre 1965 y 1975. Sin embargo varios fueron predichos antes de ser construidos.