Un teorema muy interesante, que aparece en el Almagesto de Ptolomeo, afirma que en un cuadrilátero concíclico como el de la figura inferior se verifica siempre que AB·CD + BC·AD = AC·BD
Para demostrar el teorema, en primer lugar dibujamos la recta BE de forma que el ángulo a = ABE sea igual a a = CBD. Después observamos que los ángulos marcados con q en los vértices A y D son iguales ya que son ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan un mismo arco. De ahí se deduce que el triángulo BEA es semejante al BCD y por tanto:
AE/AB = CD/BD Þ AB·CD = AE·BD
Por otra parte, también son semejantes los triángulos BEC y BAD, de donde:
CE/BC = AD/BD Þ BC·AD = CE·BD
Sumando miembro a miembro tenemos que AB·CD + BC·AD = AE·BD + CE·BD = (AE+CE)·BD = AC·BD (q.e.d.)
Un caso particular del teorema de Ptolomeo es especialmente interesante. Se obtiene al considerar que uno de los lados del cuadrilátero es el diámetro de la circunferencia.
Del teorema anterior tenemos que 2r·BC = AC·BD - AB·CD, y dividiendo todo por 4r2, obtenemos:
Llamando 2a al arco BD y 2b al arco CD, tenemos que sen a = BD/AD, sen b = CD/AD y sen (a-b) = BK/AK. Como el triángulo AKD es semejante al BKC, entonces BK/AK = BC/AD = BC/2r. Y entonces, sustituyendo en la fórmula anterior:
sen (a-b) = sen (90-b)·sen a - sen (90-a)·sen b
o equivalentemente
sen (a-b) = sen a · cos b - cos a · sen b
que es la conocida fórmula del seno de la diferencia. El Almagesto se basa en parte en las Cuerdas en un círculo de Hiparco, aunque no sabemos en que medida. Lo que si sabemos es que las tablas trigonométricas de que se disponía en aquella época están construidas basándose en los métodos que hemos visto arriba, que dicen mucho del nivel al que llegó la matemática en la Grecia Clásica.
Claudio Ptolomeo nació presumiblemente hacia el final del siglo I. Hizo observaciones astronómicas en Alejandría entre los años 127 y 151. Suidas, un escritor del siglo X, nos cuenta que Ptolomeo vivió durante la época en que Marco Aurelio fue emperador (161-180)
