Demostrada la conjetura de Poincaré
Escrito por Redacción Matematicalia 
Publicado: jueves, 24 agosto 2006

En mayo de 2003, Grigori [Grisha] Perelman publicó en el repositorio de Internet arXiv tres artículos que supuestamente contenían una demostración de la conjetura de Poincaré y de la conjetura de geometrización de Thurston, la cual engloba aquélla como un caso particular. Desde entonces, matemáticos de todo el mundo han trabajado duramente para entender y comprobar su trabajo, sin que hasta el momento se hayan encontrado errores graves. Richard Hamilton (Universidad de Columbia, EEUU) es uno de los expertos que no sólo ha analizado el trabajo de Perelman, sino que desarrolló la técnica del flujo de Ricci, la cual ha resultado esencial para la demostración proporcionada por el matemático ruso. Hamilton finalizó ayer su conferencia plenaria, la primera del ICM2006, sobre la conjetura de Poincaré afirmando que se sentía increíblemente feliz y enormemente agradecido a Perelman por completar su trabajo: “De esta manera realmente obtenemos una demostración de la conjetura de Poincaré”.

En posteriores declaraciones a los periodistas, Hamilton matizó que Perelman ha resuelto el último escollo para la prueba, si bien “la demostración de la conjetura de Poincaré es un problema en el que mucha gente ha trabajado durante mucho tiempo, y muchos hemos contribuido a ello”. Hamilton, que comenzó a investigar en él hace treinta años, comentó en tono jovial: “ahora miro hacia atrás y me pregunto cómo no fui capaz de resolverlo”.

La demostración de la conjetura ha estado rodeada de una cierta controversia a raíz de la publicación por los matemáticos chinos Xi-Ping Zhu y Huai-Dong Cao de un artículo [PDF, 2.10 MB] en el Asian Journal of Mathematics el pasado mes de junio en el que afirman proporcionar “una demostración completa de las conjeturas de Poincaré y de geometrización”. Interrogado al respecto, Hamilton ha respondido que no hay tal controversia. Explicó que el trabajo de Perelman es difícil de entender y que el propio Perelman emplea en algunos momentos la palabra “esbozo”, lo que es una invitación a mejorar o completar algo ya realizado, pero que “no existe ninguna disputa sobre quién hizo qué”.

Otros matemáticos que han contribuido a comprender y verificar el trabajo de Perelman son John Morgan (también de la Universidad de Columbia) y Gang Tian (Massachusetts Institute of Technology, EEUU), quienes han escrito un libro donde se presenta un recuento de la demostración de la conjetura de Poincaré basado en las ideas del matemático ruso. Asimismo, Bruce Kleiner (Universidad de Yale, EEUU) y John Lott (Universidad de Michigan, EEUU) han remitido para publicación un artículo al respecto.

Precisamente, John Morgan ha pronunciado hoy la segunda conferencia plenaria del ICM2006 sobre el tema estrella del Congreso. En la rueda de prensa que precedió a su conferencia confirmó la existencia de un consenso entre los investigadores que han estudiado seriamente el trabajo de Hamilton y las prepublicaciones de Perelman (esto es, Zhu y Cao, Kleiner y Lott, y Tian y él mismo) en darlas como válidas. “Yo diría, y lo diré hoy, que Perelman ha demostrado la conjetura de Poincaré, aunque no podría haberlo hecho sin el trabajo de Hamilton”, puntualizó. Por lo tanto, ya es posible afirmar que “Perelman ha convertido la conjetura de Poincaré en un teorema”.

Declaran la solución de Perelman correcta y que Poincaré es ya teorema

El matemático estadounidense John Morgan confirmó hoy que el ruso Grigori Perelman ha resuelto la Conjetura de Poincaré, uno de los siete problemas del Milenio, y que por tanto, aseguró, 'ya es posible decir que ha pasado a ser un Teorema'.

El matemático aseguró en rueda de prensa, antes de pronunciar una conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticas (ICM2006), que se celebra en Madrid desde el martes, que 'no hay duda de que Perelman es el único que ha llegado a la solución, aunque -precisó- no hubiese podido hacerlo sin el trabajo del estadounidense Richard Hamilton'.

Morgan, que trabaja en la Universidad de Columbia (Estados Unidos), es uno de los autores de un libro titulado 'El flujo de Ricci y la Conjetura de Poincaré', pendiente de publicación, que explica los argumentos empleados por Perelman con un tono dirigido a licenciados y doctorados.

El ruso colgó su propuesta en internet y su explicación en vivo y en directo iba a ser en el ICM2006, pero no apareció y también rechazó la Medalla Fields que le fue concedida el pasado martes.

En 2003, Perelman anunció que tenía la solución al llamado 'problema de geometrización' del estadounidense Richard Hamilton, y que implicaba una solución de la Conjetura, enunciada en 1904 por el francés Henri Poincaré.

'Perelman ha llegado todavía más lejos subiéndose a hombros de gigantes, pero se ha apoyado en el gran Hamilton, que inventó la base de esta solución con la definición del flujo de Ricci', indicó el matemático, que ha dedicado mucho tiempo a entender los argumentos de la solución de Perelman.

Morgan definió el logro como 'extraordinario', 'no sólo para Perelman, sino también para las matemáticas, ya que es un signo de que algo ha progresado en los últimos cien años'.

Además del libro de Morgan, existen otros dos artículos sobre la prueba de Perelman: el de los matemáticos Bruce Kleiner y John Lott y el de los chinos Zu Xiping y Cao Huaidong, este último publicado en la edición del pasado mes de junio del 'Asian Journal of Mathematics', revista estadounidense sobre la ciencia en China.

El periódico oficial 'Diario del Pueblo' publicó la noticia con grandes titulares y llegó a asegurar que los chinos habían resuelto la Conjetura, mientras que la estatal Academia China de Ciencias afirmó que el ruso 'estableció las líneas generales para probarla, pero no dijo específicamente cómo resolverla'.

Sin embargo, en opinión de Morgan, 'sólo Perelman, gracias a su capacidad tremenda de resolver problemas, ha podido dar con la solución, y espero que la comunidad científica lea las mil páginas disponibles sobre su solución y le den validez como Teorema', añadió.

'Toda esta controversia, si existe, no viene del artículo escrito por Xiping y Huaidong, sino del ruido creado alrededor, porque lo que han hecho es entender el trabajo de Perelman', añadió Morgan.

Respecto al libro que Morgan ha escrito junto al también matemático Gang Tian, que trabaja en el Instituto de Tecnología de Massachusets (EE.UU), el autor aseguró que su trabajo se diferencia de los otros dos artículos porque 'se centra en el tercer artículo publicado por Perelman, quien da argumentos muy sutiles para resolver la Conjetura'.

'Lo que hacemos es extraer de la solución el trabajo de Hamilton', agregó Morgan, quien cree que la Conjetura va a dar lugar a ciertos cambios, especialmente en ámbitos como la física y el álgebra.

Este experto no dejó de alabar a su colega ruso, al que calificó de 'matemático extraordinario, con un talento impresionante', a lo que agregó que 'a pesar de su carácter antisocial, cuando se trata de hablar de matemáticas, es extrovertido y quiere que sus ideas sean entendidas'.

La historia de la demostración de la Conjetura de Poincaré
Por Antonio J. López Moreno - Universidad de Jaén
Publicado por matematicalia el 11 de agosto de 2006

Tal y como hemos comentado, Poincaré desarrolló muchas de las herramientas necesarias para el estudio de superficies y variedades. En realidad, antes que los grupos fundamentales, él mismo introdujo los llamados grupos de homología, que permiten analizar (en varios sentidos, de una forma más ventajosa que los grupos fundamentales) los agujeros de cualquier dimensión de una superficie o variedad. No es sencillo dar una idea de lo que son los grupos de homología, ya que su definición es más compleja y menos intuitiva que la de los grupos fundamentales, así que nos contentaremos con señalar que sin duda constituyen una de las construcciones matemáticas más brillantes y de mayor importancia de todos los tiempos. En cualquier caso, el propósito de Poincaré al introducir estos conceptos era el de conseguir llegar a una clasificación de todas las superficies de dimensión 2, 3 o superiores en el sentido que ya hemos comentado antes. Habida cuenta de que el problema en dimensión 2 estaba ya resuelto a finales del siglo XIX, intentó comprobar la efectividad de sus grupos de homología en la caracterización de superficies de dimensión 3. Él estaba convencido de que los grupos de homología eran capaces por ellos mismos de distinguir la esfera tridimensional del resto de superficies compactas de dimensión 3. En 1900 Poincaré afirmó que si una superficie compacta de dimensión 3 tiene los mismos grupos de homología que la esfera S3, forzosamente esa superficie debe ser justamente S3. Sin embargo, él mismo llegó a la conclusión de que esta afirmación era falsa cuando en un artículo publicado en 1904 encontró un contraejemplo: una superficie compacta de dimensión 3 con los mismos grupos de homología que la esfera, pero que no era simplemente conexa al tener su primer grupo fundamental ciento veinte elementos. Dicha superficie se denomina desde entonces esfera de Poincaré, y no puede ser homeomorfa a la esfera ya que tienen primer grupo fundamental diferente. Disponemos por tanto dos superficies topológicamente diferentes pero que tienen los mismos grupos de homología, y ello indica que éstos no son suficientes para caracterizar a una superficie, para decidir si dos superficies son iguales o no. Esto condujo a Poincaré a considerar los grupos fundamentales y a enunciar su Conjetura en el mismo artículo de 1904, ya que a la vista de lo anterior, el paso natural consiste en preguntarse si existe alguna superficie diferente a la esfera pero con sus mismos grupos de homología y con el mismo grupo fundamental (y por tanto simplemente conexa). Esto último es, en esencia, el enunciado de la Conjetura.

Desde la publicación del artículo de Poincaré en 1904, toda una legión de matemáticos intentaron demostrar la Conjetura para el caso n = 3, que es el problema original planteado por Poincaré, pero también para dimensiones superiores, con n > 3. La producción sobre el tema llegó a ser tanta que la American Mathematical Society se vio obligada a incluir un campo exclusivo (con código 57M40) dedicado a aquellos artículos que intentan demostrar o refutar la Conjetura de Poincaré. Hubo que esperar hasta el año 1961 para que Erik Christopher Zeeman (1925- ) consiguiera, tras más de cincuenta años, el primer avance de importancia demostrando que la Conjetura era cierta para el caso n = 5. Ese mismo año, el matemático estadounidense Stephen Smale (1930- ) dio un paso decisivo al probar que la Conjetura es cierta para todo n ? 7. Al año siguiente, en 1962, John R. Stallings demostró el caso n = 6, y finalmente, 23 años más tarde, en 1986, Michael Hartley Freedman consiguió clasificar todas las variedades simplemente conexas de dimensión 4 como consecuencia de lo cual quedaba también demostrado el caso n = 4, siendo el hecho considerado de tal envergadura que le hizo merecedor de la medalla Fields ese mismo año. Sorprendente: como puede verse, los casos correspondientes a dimensiones superiores demostraron ser más “sencillos” que los de dimensiones bajas, que resistieron los ataques de los matemáticos hasta el último momento. Después de todo, en 1986 el único caso que quedaba aún sin abordar era el n = 3 de manera que finalmente, tras 82 años, la Conjetura terminó regresando a la formulación original de Poincaré, que como ya vimos se refería únicamente a las esferas de dimensión 3.

En realidad, el caso n = 3 de la Conjetura de Poincaré ha llegado a convertirse en una obsesión para muchos matemáticos, algunos de ellos de prestigio, que en diversas ocasiones creyeron sin razón haber alcanzado una solución (es conocido el caso del eminente topólogo John Henry Constantine Whitehead, que en 1934 anunció una supuesta demostración para la cual él mismo encontró un contraejemplo, conocido ahora como el enlace de Whitehead). Así las cosas, la Conjetura de Poincaré ha pasado a formar parte de la mitología matemática como uno de los grandes problemas aún sin solución, codeándose en esas alturas con otros afamados resultados pendientes de demostración como el Teorema de Fermat, en su momento, o la Hipótesis de Riemann. El reconocimiento a la importancia de la Conjetura quedó constatado en mayo de 2000 cuando el Clay Mathematics Institute de Cambridge (Massachusetts) lo incluyó dentro de la selección de los siete problemas matemáticos sin resolver más relevantes. Dicho instituto, financiado por el rico empresario americano Landon Clay, es una fundación privada, sin ánimo de lucro, dedicada a estimular y divulgar el conocimiento de las matemáticas que en 2000 instauró los premios Millenium Problem por los que se otorga una cantidad de un millón de dólares a cada persona que resuelva uno de de los siete problemas que en ese año 2000 un comité de expertos seleccionó como los más importantes de las matemáticas actuales, entre los que figura, como ya hemos comentado, la Conjetura de Poincaré. De este modo, además del prestigio que alcanzaría cualquiera que demostrara o refutara la Conjetura, desde ese momento había además en juego un premio de un millón de dólares. En cualquier caso, para la concesión del premio, el Clay Mathematics Institute exige una serie de requisitos, entre los que se encuentra la necesidad de exponer la solución encontrada a cada problema ante la comunidad matemática por un período de dos años antes de recibir el sustancioso galardón.

Sea o no por el premio, a partir del año 2000 varios matemáticos publicaron supuestas demostraciones de la Conjetura. Así, en abril de 2002 el matemático inglés M.J. Dunwoody presentó un artículo de cinco páginas en el que pretendía haber resuelto la Conjetura, pero rápidamente se encontraron errores de importancia en el trabajo. El siguiente en probar suerte fue el distinguido matemático Everett Pitcher, quien fuera secretario de la American Mathematical Society desde 1967 hasta 1988, que el 16 de octubre de 2002 presentó en Lehigh University la conferencia titulada The Poincaré Conjecture is true y envió para su publicación el correspondiente artículo, del que hasta la fecha no parece haber informes favorables. Días después de la conferencia de Pitcher, el 22 de octubre de 2002, le tocó el turno a Sergey Nikitin, de Arizona State University, que publicó en arXiv e-Print Archive el preprint titulado Proof of the Poincaré Conjecture, para el que el 31 de octubre de ese mismo año aparece un supuesto contraejemplo en el grupo de noticias sci.math.research; si bien el propio Nikitin para el 10 de diciembre de ese año había añadido ya hasta siete versiones adicionales de su preprint en arXiv, en las que se corregían errores y se precisaban algunas definiciones. Desde entonces, no hay noticia alguna referente a este trabajo. Téngase en cuenta que arXiv e-Print Archive es un servicio de preprints electrónicos de la Universidad de Cornell que desde 1991 recopila preprints de diferentes disciplinas científicas como física, matemáticas, ciencias de la computación o biología, y que en principio publica en sus servidores cualquier trabajo científico sin ningún tipo de revisión especializada.

Sin duda alguna, el ataque más serio al problema es el debido al matemático ruso Grigori Yakovlevich Perelman (si bien firma sus artículos como Grisha Perelman), del Instituto Steklov de la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo. Perelman publica, nuevamente en arXiv, el 11 de noviembre de 2002, un preprint de 39 páginas titulado The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, en el que no aborda directamente la Conjetura de Poincaré sino otra conjetura más general denominada Conjetura de Geometrización de Thurston, de la cual se deduce como caso particular la Conjetura de Poincaré. Dicho de otro modo, una vez demostrada la Conjetura de Geometrización de Thurston automáticamente habremos obtenido también la de Poincaré. La Conjetura de Geometrización fue propuesta en 1970 por el matemático William Paul Thurston (1946- ) ganador de una medalla Fields en 1982 por la impresionante envergadura matemática de sus trabajos sobre variedades de dimensión 2 y 3. En realidad, la Conjetura de Thurston constituye un problema matemático mucho más ambicioso que el de Poincaré, ya que pretende alcanzar una descripción definitiva de cualquier superficie de dimensión 3 por medio de su descomposición en piezas de estructura geométrica más simple. El 10 de marzo de 2003, Perelman publica en arXiv un segundo preprint de 22 páginas titulado Ricci flow with surgery on three-manifolds, que viene a completar el primero de sus preprints introduciendo en él ciertas mejoras. Para su demostración, Perelman recurre a técnicas de Geometría Diferencial y se basa en los trabajos de Richard Hamilton, de la Universidad de Columbia, sobre los flujos de Ricci.

A diferencia de demostraciones anteriores, la de Perelman captó inmediatamente la atención de los expertos en el tema de todo el mundo, debido al hecho de que él mismo es reconocido a nivel internacional como uno de los más importantes especialistas en Geometría Diferencial y que goza de amplio prestigio dentro de la comunidad matemática gracias a la profundidad y seriedad de sus trabajos. Los día 7, 8 y 11 de abril de 2003, Perelman sometió el trabajo contenido en los dos preprints de arXiv al juicio de la comunidad científica en un ciclo de conferencias que tuvo lugar en el Departamento de Matemáticas del prestigioso Massachusetts Institute of Tecnology (MIT), titulado Ricci Flow and Geometrization of Three-Manifolds. A este ciclo asistieron más de cien matemáticos, entre los que se encontraban personalidades ya consagradas como Andrew Wiles, que en 1994 había pasado a los anales tras conseguir demostrar el último Teorema de Fermat, o el premio Nobel de economía John Forbes Nash, popularizado por la película Una mente maravillosa, en la que se recrea su biografía (téngase en cuenta que Nash fue autor en su juventud de importantes trabajos dentro del campo de la geometría). Tras este ciclo de conferencias diversos medios de comunicación, como el New York Times, la BBC y otros, se hicieron eco de la noticia.

Perelman presentando sus teorías

La cuestión es que tras la exposición de los trabajos de Perelman los expertos se mostraron esperanzados pero cautos, debido a que la complejidad de los desarrollos que había presentado requerían un examen concienzudo: a pesar de que, sin duda, suponían avances de envergadura, podían contener sutiles errores en distintos puntos. Por otro lado, estaba presente también la cuestión del millón de dólares que podría estar en juego de darse por valida la demostración. Si bien las normas del Clay Mathematics Institute exigen la publicación de los resultados en una revista científica y su examen posterior por dos años, el propio James Carlson, presidente del Instituto, declaró que aunque el trabajo hubiera sido publicado en Internet podría obviarse este hecho si se superaban los dos años de revisión. De todos modos, si hacemos caso de los rumores que circulan por Internet, es incluso posible que el propio Perelman desconociera la existencia del premio del Instituto Clay y que fuera, por tanto, ajeno a estas cuestiones.

Así las cosas, el pasado junio de este año salta la sorpresa cuando es anunciada en los medios de comunicación la publicación de una nueva demostración de la Conjetura de Poincaré, que además se presenta como la primera prueba íntegramente completa no solo del problema de Poincaré, sino también de la Conjetura de Geometrización. Los autores de la nueva demostración son los matemáticos chinos Zhu Xiping, de la Universidad de Zhongshan (en la provincia de Cantón, al sur de China) y Cao Huaidong, de la Universidad de Lehigh (Pensilvania, EEUU), y ésta aparece publicada en el número de junio de la revista Asian Journal of Mathematics, en un artículo de 327 páginas titulado A complete proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow. Según declaraciones a los medios de comunicación, ambos matemáticos han trabajado en la demostración por más de dos años bajo la dirección de Shing-Tung Yau, profesor de la Universidad de Harvard y ganador de la medalla Fields en el año 1982, quién es además uno de los editores en jefe del Asian Journal of Mathematics. La nueva demostración no sólo fue difundida en el ámbito científico, sino que fue profusamente anunciada en medios de comunicación como el Diario del Pueblo, órgano de prensa del gobierno chino, en el que se dedicaron al tema grandes titulares en letras rojas que festejaban la demostración como un éxito histórico de la ciencia china. Además, numerosos otros medios de distintos países se hicieron eco también de la noticia.

Sin duda alguna la polémica está servida, ya que las teorías de Perelman recogidas en sus dos artículos de arXiv se encontraban todavía en período de revisión, y todo parecía indicar que estaba próxima su aceptación definitiva por la comunidad matemática. Por otro lado, el trabajo de los matemáticos chinos se fundamenta en los desarrollos de Perelman, tal y como queda reflejado en el título de su artículo e, incluso en el abstract del trabajo, en el que los propios autores escriben: Este trabajo depende de los trabajos de muchos geómetras y analistas durante los últimos treinta años. Esta prueba debería ser considerada como la culminación de la teoría de Hamilton-Perelman sobre el flujo de Ricci. Sin embargo, por otro lado, el Sr. Yang, miembro de la Academia China de Ciencias, ha declarado que Todos los matemáticos americanos, rusos y chinos han hecho contribuciones indispensables a la prueba completa, en clara alusión a Perelman y Hamilton, y continúa señalando que la longitud total del trabajo de Perelman sobre la Conjetura era, hacia finales de 2002, de alrededor de 70 páginas, en contraposición con las más de 300 del artículo de Zhu y Cao, argumentando de esta manera que Perelman trazó las líneas maestras que habían de seguirse para resolver el problema pero sin llegar a encajar el puzzle de forma definitiva. Finalmente, Yang añade que las líneas maestras son completamente diferentes de la prueba completa de una teoría. Sin embargo, los expertos comienzan ya a tomar posición en defensa del trabajo de Perelman, toda vez que parace opinión unánime que los matemáticos chinos no han hecho más que una reconstrucción detallada de la línea de demostración trazada por Perelman. Por otro lado, esta reconstrucción no es la primera, ya que en el pasado mes de mayo los norteamericanos Bruce Kleiner y John Lott presentaron un trabajo similar. La única diferencia es que, según parece, Zhu y Cao realizaron en secreto su demostración, mientras que la de Kleiner y Lott fue ampliamente difundida en Internet en cada paso de su desarrollo. En realidad, tanto la prueba de los chinos como la de los norteamericanos no serían más que revisiones muy precisas de la demostración de Perelman que sencillamente vienen a confirmar su validez. De esta manera, nos encontramos quizás ante un posible conflicto científico oriente-occidente de cierta magnitud.

En todo caso, a partir de ahora será necesario que la comunidad matemática internacional examine tanto los trabajos de Zhu y Cao como los de Perelman. Sin duda alguna, el comité de expertos del Instituto Clay encargado de discernir quién ha sido realmente el autor de la primera demostración de la Conjetura de Poincaré tiene delante de sí una difícil tarea.

Con toda seguridad, uno de los temas estrella del próximo Congreso Internacional de Matemáticos que se celebrará en Madrid a finales de agosto de este año será la Conjetura de Poincaré, tanto más si hacemos caso a los rumores que señalan que Perelman podría ser galardonado con la medalla Fields en el transcurso del evento. Téngase en cuenta que Perelman, que nació en 1966, está aún a tiempo de recibir el premio que tradicionalmente se entrega a matemáticos que no superen los 40 años.

La Conjetura de Poincaré por José Luis Tábara (explicación del problema y su resolución en pdf)